См. другие сайты и вебстраницы автора: Пока горит ... кристалл Что такое жизнь? Финансовый кризис: взгляд со стороны Как резать колбасу по законам физики? Американский ЕГЭ по физике Физика внутри нас Почему пена белая? Антибликовые очки и ЖК-дисплей Сколько лучей у солнечного блика? Что заставляет женщин вилять бёдрами? Почему кучевые облака плоские снизу? Далеко ли мы от Тадж-Махала? Ночным поездом по коническим сечениям Электростатика заряженных бусинок Загадки одномерного бильярда Популярно обо всём В мире «Что и почему?» Что могут нанотехнологии?

Богданов К.Ю.

kbogdanov1@yandex.ru

Где проходит ватерлиния?

 

Узнать на сколько погрузится однородный деревянный брусок в воду очень легко. Достаточно вспомнить о силе Архимеда. Однако можно решить эту задачу, забыв на время о силе Архимеда.

 

Известно, что всякая изолированная система стремится уменьшить свою потенциальную энергию – санки скатываются с горки, сжатая пружина распрямляется, а маятник, отклонённый от положения равновесия, после нескольких колебаний занимает самое нижнее положение. Попробуем применить этот принцип – стремление к наименьшей потенциальной энергии – для поиска положения ватерлинии деревянного бруска, плавающего в воде.

 

Пусть брусок имеет прямоугольную форму, высоту h, площадь поперечного сечения s и сделан из материала плотностью r. Брусок опускают в сосуд с водой плотностью r₀ , площадь поперечного сечения которого равна S, а глубина воды в нём (до опускания бруска) составляет H. (см. рис. а).

Брусок частично погружается в воду, в результате чего уровень воды в сосуде поднимается на х, а поверхность бруска опускается на у (см. рис. б). Вычислим изменение потенциальной энергии воды и бруска, произошедшее между состояниями, изображёнными на рис. а и б.

 

Потенциальная энергия бруска относительно дна сосуда в состоянии (а), U_б(а) составляла:

где g – ускорение свободного падения. Потенциальная энергия воды относительно дна сосуда в состоянии (а), U_в(а) составляла:

 Потенциальная энергия бруска относительно дна сосуда в состоянии (б), U_б(б) составит:

Потенциальная энергия воды различных частей сосуда изменилась по-разному при переходе в состояние (б) – под бруском она уменьшилась, а в остальных частях увеличилась. Легко показать, что потенциальная энергия воды, U_в(б) составит:

Так как вода несжимаема, то величины х и у связаны следующим соотношением:

Используя (1)-(5), можно вычислить изменение потенциальной энергии воды и бруска, произошедшее между состояниями а и б:

Легко показать, что выражение в правой части (6) достигает минимума при x = x_min:

Таким образом, минимум потенциальной энергии системы, состоящей из воды в сосуде и плавающего бруска, достигается при x_min, значение которого можно вычислить по формуле (7). Из рисунка (б) следует, что расстояние от нижней поверхности бруска до ватерлинии (чёрная жирная прямая на б) d = х + у. Вычислив у_min с помощью (5), получаем выражение для d:

Как и следовало ожидать, формула (8), полученная нами, совпадает с той, которую можно было бы вывести, применяя закон Архимеда. Так поиск минимума потенциальной энергии системы помогает решать многие задачи физики.